\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{array}
\usepackage{xy}
\usepackage{graphicx}
\def\d#1{{#1\kern-0.4em\char"16\kern-0.1em}}
\def\D#1{{\raise0.2ex\hbox{-}\kern-0.4em#1}}

\pdfpagewidth 8.5in
\pdfpageheight 11in
\topmargin 0in
\headheight 0in
\headsep 0in
\textheight 8.5in
\textwidth 6.5in
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\headheight 0pt
\headsep 0in

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item{Mo\v zemo bez umanjenja op\v stosti pretpostaviti $a\geqslant b$. Tada o\v cigledno va\v zi $a^mb^n\leqslant a^{m+n}$, kao i $a^nb^m\leqslant a^{m+n}$ pa sabiranjem ove dve relacije imamo $a^mb^n+a^nb^m\leqslant a^{m+n}$ iz \v cega mo\v zemo zaklju\v citi $a^mb^n+a^nb^m\leqslant a^{m+n}+b^{m+n}$ (po\v sto su $m$ i $n$ iste, parnosti $m+n$ je paran broj, pa je $b^{m+n}$ nenegativan). Imamo slede\' ci lanac ekvivalencija:
$$a^mb^n+a^nb^m\leqslant a^{m+n}+b^{m+n}\iff a^{m+n}+a^mb^n+a^nb^m+b^{m+n}\leqslant 2(a^{m+n}+b^{m+n})\iff$$
$$\iff (a^m+b^m)(a^n+b^n)\leqslant 2(a^{m+n}+b^{m+n})\iff \frac{a^m+b^m}2\cdot\frac{a^n+b^n}2\leqslant \frac{a^{m+n}+b^{m+n}}2$$}
\item{Najpre faktori\v semo dati izraz:
$$(a+b)^5-a^5-b^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5-a^5-b^5=5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)=$$
$$=5ab(a^3+a^2b+a^2b+ab^2+ab^2+b^3)=5ab(a^2(a+b)+ab(a+b)+b^2(a+b))=5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)$$

Zaklju\v cujemo da svih $5$ \v cinilaca u ovom proizvodu moraju biti prosti brojevi, \v sto zna\v ci da su (izme\d{d}u ostalih) i $a$, $b$ i $a+b$ prosti. Ukoliko su i $a$ i $b$ neparni onda je $a+b$ paran broj pa samim tim ne mo\v ze biti prost. Zbog simetrije mo\v zemo pretpostaviti $a=2$. Izraz se sada svodi na
$$10b(b+2)(b^2+2b+4)=10b(b+2)(b(b+2)+1+3)$$

$b=3$ je jedan broj koji ispunjava uslove zadatka. Za $b>3$ sledi da jedan od brojeva $b$ i $b+2$ pri deljenju sa $3$ daje ostatak $1$ a drugi $-1$ pa je izraz $b(b+2)+1+3$ deljiv sa $3$ i ne mo\v ze biti prost. Dakle, jedina re\v senja zadatka su:
$$(a,b)\in\left\{(2,3),(3,2)\right\}$$}

\item{Neka je $R$ polupre\v cnik opisane kru\v znice datog trougla. Primenom sinusne teoreme dobijamo:
\begin{eqnarray}
AB=2R\sin50^o\label{ab}\\
BC=2R\sin80^o\label{bc}
\end{eqnarray}
Dalje, primenom sinusne teoreme na trougao $ADB$ dobijamo:
$$\frac {AD}{\sin50^o}=\frac{AB}{\sin80^o}$$
\v sto nam zajedno sa (\ref{ab}) daje:
\begin{equation}
AD=\frac{2R\sin^250^o}{\sin80^o}\label{ad}
\end{equation}
Sli\v cno, primenom sinusne teoreme na trougao $BCE$ imamo:
$$\frac{BE}{\sin50^o}=\frac{BC}{\sin110^o}$$
pa u kombinaciji sa (\ref{bc}) zaklju\v cujemo:
\begin{equation}
BE=\frac{2R\sin50^o\sin80^o}{\sin70^o}\label{be}
\end{equation}
Dalje, primenom sinusne teoreme na trougao $AOB$ dobijamo:
$$\frac{AO}{\sin30^o}=\frac{AB}{\sin100^o}$$
$$\frac{BO}{\sin50^o}=\frac{AB}{\sin100^o}$$
i zajedno sa (\ref{ab}) imamo:
\begin{eqnarray}
AO=\frac{2R\sin30^o\sin50^o}{\sin80^o}\label{ao}\\
BO=\frac{2R\sin^250^o}{\sin80^o}\label{bo}
\end{eqnarray}
Sada iz (\ref{be}) i (\ref{bo}) imamo
$$OE=BE-BO=\frac{2R\sin50^o\sin80^o}{\sin70^o}-\frac{2R\sin^250^o}{\sin80^o}=2R\sin50^o\frac{\sin^280^o-\sin50^o\sin70^o}{\sin70^o\sin80^o}=$$
$$=2R\sin50^o\frac{4\sin20^o\cos20^o\cos40^o\sin80^o-\cos20^o\cos40^o}{2\cos20^o\sin40^o\cos40^o}=2R\sin50^o\frac{4\sin20^o\sin80^o-1}{2\sin40^o}=$$
$$=2R\sin50^o\frac{2(\cos60^o-\cos100^o)-1}{2\sin40^o}=2R\sin50^o\frac{1+2\sin10^o-1}{2\sin40^o}$$
\begin{equation}
OE=\frac{2R\sin10^o\sin50^o}{\sin40^o}\label{oe}
\end{equation}
dok iz (\ref{ad}) i (\ref{ao}) sledi:
$$OD=AD-AO=\frac{2R\sin^250^o}{\sin80^o}-\frac{2R\sin30^o\sin50^o}{\sin80^o}=2R\sin50^o\frac{2\sin10^o\cos40^o}{2\sin40^o\cos40^o}$$
\begin{equation}
OD=\frac{2R\sin10^o\sin50^o}{\sin40^o}\label{od}
\end{equation}
Iz (\ref{oe}) i (\ref{od}) sledi da su du\v zi $OE$ i $OD$ zaista jednake, \v sto je i trebalo dokazati.}
\item{Pretpostavimo da postoji ceo broj $d$ takav da je $P(d)=0$. Primetimo da va\v zi slede\' ce:
$$a-d|P(a)-P(d)\iff a-d|\pm 1$$
$$b-d|P(b)-P(d)\iff b-d|\pm 1$$
$$c-d|P(c)-P(d)\iff c-d|\pm 1$$
Zaklju\v cujemo da razli\v citi brojevi $a-d$, $b-d$ i $c-d$ mogu uzeti samo dve vrednosti (konkretno $1$ i $-1$) \v sto je nemogu\' ce pa polazna pretpostavka da postoji ceo broj $d$ takav da je $P(d)=0$ nije ta\v cna.}
\end{enumerate}
\end{document}