Author: Mustafa Sprecic

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Ajnštajnov voz sa dva vagona

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Relativistička algebra (algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja) Zakoni puta (1): sc = c·t i s = vt definišu se i eksperimentalno potvrđuju u skladu sa "klasičnom fizikom". Ovi matematički iskazi objedinjavaju matematičke i fizičke pojmove u najsažetiji i najjednostavniji „algebarski zapis (algebra, njene zakonitosti i pravila) geometrijskog opisa (geometrijska slika ) fizičkog zbivanja“ (eksperimentalne činjenice). Značenje i shvatanja pojmova (algebarskih, geometrijskih i fizičkih) vezanih za zakon puta: sc = ct = x potrebno je usaglasiti odmah, na samom početku, i na navedenom matematičkom zapisu geometrijskog opisa fizičke stvarnosti, prije uvođenja bilo kakvih novih atributa fizičkih sadržaja i zbivanja. Spečo (Ja) insistira na sljedećem stavu (iskazu): Ako je: 0 < t0 < t' < t/2 < ∞, i 0 < c < ∞, i: s0 = ct0 , s' = ct' , sc /2 = ct/2 , onda je i: s0 < s' < sc /2 , odnosno 2s0 < 2s' < sc , 2ct0 < 2ct' < ct. Stav 1.Dužine puta direktno su proporcionalne dužini vremenskog intervala (za istu brzinu), te je: 2ct0 : 2t0 = 2ct' : 2t' = ct : t = c . 0 < 2ct0 < 2ct' < ct < ∞. Stav 2.Dužine puta obrnuto su proporcionalne brzinama (za jednake vremenske intervale), te je: 0 < 2vt0 < 2vt' < vt < ∞, i 2vt0 < 2ct0 , 2vt' < 2ct' , vt < ct , ako je v = c/n i 1 < n < ∞ , n = c/v. Stav 3.Različitim brzinama, za različita vremena mogu se obistiniti i jednake dužine puta. Vremenski intervali obrnuto su proporcionalni brzinama (na istoj dužini puta). Ovaj treći stav naglašavam zbog: vt : v = t , ct : v = n·t i ct : c = t , vt : c = t/n = tv, a posebno zbog značajne relacije u „relativističkoj algebri“: vt = c·tv , ct = n vt, odnosno: c/v = t/tv = n . Zašto sam neke od relacija označio plavo i zašto sam uz neke oznake koristio dvojku da odmah pojasnim: “Relativistička algebra“ koristi jednoobrazne oznake za isti smisao veličina , ma u kojem fizičkom ili geometrijskom sadržaju ih „pronalazili“, odnosno, primjenjivali navedenu fizičku veličinu ili relaciju (formulu). To bi mogli nazvati i prvim pokušajem „aksiomatske izgradnje“ fizičkih oznaka i relacija među fizičkim veličinama. Naravno, time se učenicima i studentima olakšava pamćenje, bolje razumijevanje i lakše povezivanje (naizgled) različitih fizičkih sadržaja. Na primjer, jednom navedeni relativni odnos 0 < v < c < ∞ ostaje takav ma gdje koristili dvije različite brzine u posmatranom fizičkom sadržaju. Kada smo to jednom naveli (iskazali, naglasili) nema potrebe da koristimo neke druge oznake (v1 , v2 , v0) i da se pitamo koja je brzina veća a koja manja, koja je početna, a koja je konačna. Jednom smo to naveli, jednom smo to kazali i tako ostaje u svim kasnijim sadžajima u kojima budemo tretirali, obrađivali ili primjenjivali dvije brzine različitih skalarnih vrijednosti (različitog intenziteta). Isto to važi za dužine i oznake vremenskih intervala. Tako na primjer oznaka tv vremenskog intervala tv = vt/c = t/n bit će takva ma gdje je koristili (kod Snelijusovog zakona loma, u inercijalnim ili jednako promjenljivim kretanjima, pravolinijskim kružnim ili oscilatornim kretanjima, kod količine kretanja tijela malih dimenzija ili kod količine kretanja nebeskih tijela). Gore pomenuta dvojka korištena je radi zadržavanja oznaka (po smislu i sadržini) ct, vt, 2ct0, 2ct' 2vt0 , 2vt', u Einstein-ovim formulama ( u STR), u jednolikim i jednako promjenljivim kretanjima (sa ili bez „početne brzine“). Tako na primjer Ajnštajnova formula: tretirat će se i u ovom obliku: . Iz relacije: 2ct0 = ct(1-v2/c2) = ct(1-1/n2) = ct – ct/n2 izvodit ćemo dalje algebarske, geomerijske i fizičke istine i sadržaje. Na primjer: Iskazati dužinu 2l0 = 2ct0 pomoću „izmjerene“ dužine vt = ct/n = ctv. To ćemo uraditi jednostavno tako što ćemo u posljednjoj jednakosti desnu stranu jednakosti pomnožiti i podijeliti sa n, a zatim novodobijeni iskaz „srediti“ (pojednostaviti): 2l0 = (ct/n )(1-v2/c2)·n = vt(n-1/n) = vt(n2-1)/n = vt/n (n2-1) = vtv (n2-1). Dobili smo novu jednakost: 2ct0 = vtv (n2-1) u kojoj se ponovo pojavljuje vremenski interval: tv = t/n = vt/c , koji smo ranije već pomenuli (naveli) i „opisali“. Indeks (v) koristim kako bi naglasio da je taj vremenski interval u „bliskom srodstvu“ sa brzinom v = c/n. To je, upravo, onaj vremenski interval za koji će neko posmatrano tijelo („bez početne brzine“) mase m = F/a, djelovanjem konstantne sile F = m·a, sa konstantnom akceleracijom a = F/m , dostići brzinu v = a·tv . Sa istom tom akceleracijom a = F/m , u nekom narednom vremenskom trenutku, t = tv + Δt, posmatrano tijelo mase m = F/a , dostići će trenutnu (konačnu, krajnju, u posmatranom fizičkom sadržaju – najveću) brzinu c = a·t. Pogledajmo to i na slici: Dužina puta koju tijelo pređe u jednako promjenljivom kretanju sa konstantnom akceleracijom od momenta kada je dostiglo trenutnu brzinu v = a·tv (od momenta kada je imalo "početnu brzinu" v) pa do momenta dostizanja konačne (krajnje, trenutne) brzine c = a·t , je dužina l0 = ct0. Novodobijena veličina Δt = t – tv , tako definisana (iskazana pomoću t i tv) zadržava nevedeno značenje ma gdje je koristili (u inercijalnim ili jednako promjenljivim kretanjima, sa ili bez „početne brzine“). Upravo, ta jednoobraznost oznaka, jednoobraznost značenja, jednostavnost algebarskih transformacija, univerzalnost primjene ( u svim oblastima matematike, geometrije i fizike), jednostavnost, sklad i ljepota, u prikazu i razumijevanju fizičkih i geometrijskih sadržaja afirmiše praktičnu (upotrebnu) vrijednost „relativističke algebre“ . Na primjer iz F = m·a, množeći lijevu i desnu stranu jednakosti sa t dobijemo: F·t = m·a·t = m·c. Ponovo primjenimo množenje lijeve i desne strane novodobijene jednakosti sa c dobit ćemo: F·c·t = ma·ct = mc2 = 2E . Kako smo već naglasili da je brzina c konačna, krajnja, najveća brzina u posmatranom fizičkom sadržaju, to je i Fct = mc2 = 2E i najveći iznos (ukupne) energije koji posmatramo u konkretnom fizičkom sadržaju. Također iz F = m·a, množeći lijevu i desnu stranu jednakosti sa tv ( F·tv = m·a·tv = m·v), a zatim sa v , dobijemo F·v·tv = ma·vtv = mv2 = 2Ek . Razliku 2E – 2Ek = 2E0 = mc2 – mv2 možemo izvoditi i na druge načine, ali će oznake, smisao i skalarne (brojčane) vrijednosti veličina imati istu vrijednost (ma odakle polazili i kojim postupkom ih izračunavali): F·ct = mc2 = 2E , F·tv = mv2 = 2Ek , F· 2l0 = F·2ct0 = F·ct - F·vtv = F(ct-vtv) = 2E0 = 2E – 2Ek = mc2 – mv2. U sistemu u kojem posmatramo, mjerimo i iskazujemo sve nevedene veličine i relacije (računajući i Ajnštajnovo t0 i t' i t) u konkretnom fizičkom zbivanju, sve do sada pomenute veličine (oznake, smisao i međusobni relativni odnosi) možete analizirati u jednoj od osnovnih (polaznih) formula relativističke algebre: . Šta sve možete (ako hoćete) izvesti ili iskazati koristeći navedenu (produženu) jednakost, zavisi od vašeg interesovanja. Uzmimimo (na primjer) izdvojeno ovaj podatak (jednakost) (c2-v2)/2l0 = (c-v)/2t2 .Dijeleći obje strane sa (c-v), a zatim primijenimo osobine proporcije i dobijemo jednostavan iskaz: 2t2 (c+v) = 2l0 = 2ct2 + 2vt2 ili još jednostavnije: l0 = ct2 + vt2 = (c+v)t2. Upravo smo dobili jednakost kojom izkazujemo vrijeme trajanja (t2) kretanja svjetlosti (u Ajnštajnovom vozu sa dva vagona) od sredine voza do "kraja zadnjeg vagona", odnosno vrijeme nakon odbijanja od ogledala na kraju "prednjeg vagona" pa do ponovnog povratka "posmatraču" koji sjedi u sredini S' pokrene dužine 2l0 . Uzmemo li u razmatranje i (c2-v2)/2l0 = (c+v)/2t1 i podijelimo sa (c+v) obje strane jednakosti, a zatim dobijeni izraz pojednostavimo, doći ćemo do algebarskog iskaza: l0 = ct1 - vt1 = (c-v)t1. Upravo smo dobili vrijeme (t1) trajanja dok svjetlost u Ajnštajnovom vozu sa dva vagona, odbijena od ogledala (na kraju zadnjeg vagona) ne sustigne pokretnog posmatrača u S', ili dok od posmatrača S' ne stigne do "prednjeg ogledala". Sa novodobijenim jednakostima možemo dalje izvoditi nove algebarske, geometrijske i fizičke istine (bez ikakve bojazni i sumnje u istinitost dobijenih podataka (ma šta i ma kako računali i izvodili). Do sada smo pominjali sljedeće vremenske intervale: t0, t', t, tv, t1, t2, Δt, te brzine c, v, (c+v), (c-v) i √(c2-v2). U inercijalnim kretanjima svi navedeni vremenski intervali mogu se iskazati pomoću „izmjerene“, „sinhronizovane“, dužine l0 = ct0 i brzina c i v, ili pomoću dužina i zakona puta jednolikih pravolinijskih kretanja vt = K°K' i ct = x. Ako imamo zadanu (izmjerenu skalarnu vrijednost) dužinu l0 , te zadane skalarne vrijednosti brzina c i v , bilo kojeg odnosa c/v = n > 1, onda ćete navedene vremenske intervale lako izračunati: t0 = l0/c, t1 = l0/(c-v), t2 = l0/(c+v), t' = l0/√(c2-v2), t = 2l0/((c2-v2)/c), tv = 2l0/((c2-v2)/v). Navedeni vremenski intervali imaju sljedeće međusobne relativne odnose: t = t1 + t2 , tv = t1 - t2, (t')2 = t0·t/2 = t1·t2, t – tv = Δt , t/tv = c/v = n. Ako imate izmjerene skalarne vrijednosti dužina vt i ct i na primjer koristimo poznatu vrijednost za brzinu c ( brzina svjetlosti u vakuumu na primjer) onda ćemo iz odnosa ct/vt = n = c/v izračunati brzinu v = c/n, te dužinu 2l0 = ct – ct/n2. Dalje možemo koristiti već navedene načine izračunavanja vremenskih intervala (tv = t/n) ili koristiti i druge metode: ct + vt = 2ct1 i iz tog rezultata izračunati t1 = (ct + vt)/2c, ili (ct – vt) = 2ct2 te iz toga izračunati t2 = (ct-vt)2c,
(2t')2 = 2t1·2t2 = 2t0·t , t = t1 + t2 , tv = t1 - t2 = t - Δt. Za bilo koje skalarne vrijednosti brzina: 0 < v < c < ∞, bilo kojeg odnosa c/v = n , i uz bar jedan "izmjereni podatak" (neka izmjerena dužina, ili neki izmjereni vremenski interval) , možemo imati i odgovarajuću geometrijsku sliku ("geometrijski prikaz algebarskog zapisa fizičkog zbivanja):
Šta Ajnštajn "produžava" ("dilatacija vremena"), a šta "skraćuje" ("kontrakcija dužina") najlakše ćete shvatiti iz ovog "algebarskog zapisa geometrijskog opisa fizičkog zbivanja": . Ta fizička, geometrijska i matematička (algebarska) istina nije posebno privilegovana za brzinu svjetlosti u vakuumu (c ≈ 3·108 m·s-1). Ako je ta slika valjana za bilo koje 0 < v < c < ∞ (a jeste) i valjana je za bilo koji odnos c/v = n (bilo v malo spram c bilo v blizu c), a jeste, onda takva slika, na najočigledniji način, može nas uputiti u Ajnštajnove istine i zablude u Specijalnoj teoriji relativnosti. Za sagledavanje Ajnštajnovih istina i Ajnštajnovih zabluda korisna je i sljedeća jednakost: . Za sagledavanje (suštinskog značenja i smisla) Lorentz-ovih formula za transformaciju koordinata: potrebno je uočiti algebarsku, geometrijsku i fizičku istinitost Lorentz-ovih transformacija za svako moguće 0 < v < c < ∞ koje umijemo osmisliti: . Nakon sagledavanja algebarskog, geometrijskog i fizičkog smisla Lorentzovih transformacija za male vrijednosti brzina 0 < v < c , bolje ćemo razumjeti i smisao Lorencovih transformacija i kada je u pitanju c - brzina svjetlosti u vakuumu. Lorentz-ove dužine označit ću na geometrijskoj slici: . Lorentz-ovo x = ct = PA = PN , PB = PT = vt x-vt = AB = NT , x' = AB / sin α = = AV' = V'N = NL' = AL' = PL. Lorentz-ovo: x'/n = vt' = BV = BV' = V'T = VT , x' + vt' = BN = AT. , x = BN / sin α = = PA = PN. Potražimo li omjer Lorentz-ovih dužina x'/x onda se možemo uvjeriti da taj odnos ima sljedeću vrijednost: . Dakle, Lorentz-ove formule za transformaciju koordinata slijede sljedeću matematičku, geometrijsku i fizičku zakonitost: . Kada je to tako za svako moguće ct i vt , onda je to tako i kada je c = 3·108 m/s , i v = c/n . Iz navedenog je vidljivo da ni Lorentz-ove formule za transformaciju koordinata (baš kao i Ajnštajnove formule) nisu privilegovane za c je brzina svjetlosti u vakuumu (već su tačne i istinite, za svako moguće 0 < v < c < ∞, bez ikakve "dilatacije" ili "kontrakcije"). Naravno da je takvu istinu moguće i eksperimentalno potvrditi u svakom mogućem primjeru "inercijalnih kretanja". Koristim istovjetne oznake za Einstein-ovo: i Lorentz-ovo: samo zbog uobičajenih istih takvih oznaka u literaturi, mada je očito da Ajnštajnovo t' nije jednako Lorencovom t' = x'/c. U svim relacijama (formulama) kada naiđete na oznaku t' , ona će se odnositi na Ajnštajnovo t', kao na primjer: , sve bez ikakve "dilatacije" vremena ili "kontrakcije" dužina.
Dakle, Einstein-ove postavke u STR i OTR možete sagledati iz produžene jednakosti: , jednostavno analizirajući, na primjer, , ili .
U stručnoj literaturi sve ćete rjeđe naići na upotrebu "crtkanih" E' i m' , ali neka vas to ne zbunjuje. Priču o "Ajnštajnovoj relativnosti" u nekim udžbenicima ćete naći potkrijepljenu tim jednakostima, a negdje uz korištenje ovih jednakosti: ili isto to u malo drugačijem obliku: E2 - k2c2 = mc4 , k = v· E/c2 , ( krajem dvadesetog vijeka dogovoreno je da svako tijelo ima jednu i jedinu - sopstvenu masu - m i da je tako treba i obilježavati, dok su se ranije koristili izrazi "masa u mirovanju"- m0, "masa u kretanju"-m',....itd). (vaše sugestije, ako ih imate, rado ći isčitati na: mustafa.sprecic@gmail.com).
.

.
AB = vtv /2 , AC = ct/2 , AD = vt/2 , BC = l0 = ct0 , CD = ct' , BD = vt'.
Jednoobraznost oznaka veličina jasno nas upućuje na smisao relativnih odnosa u Ajnštajnovim relacijama i formulama.

koju možete nacrtati za svako moguće ct i vt , koje umijete osmisliti, ( za svako 0 < v < c < ∞ ): PD = PK = ct = x i K°K' = PC = vt = ct/n = ctv. KC = 2ct' = t√(c2-v2). BD = 2l0 = 2ct0 .
Odnos dužina KC : KP = sin α = Ajnštajnov "relativistički faktor".
Na ovoj slici imamo i Lorentz-ove dužine:
x = ct = PD, vt = PC, x-vt = CD, x' = VK, vt' = CV, x'+vt' = CK i isti taj Ajnštajnov "relativistički faktor".

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

About Us

Contact Us

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

To contact us:

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Contact Us

Service List

Contact Us

Heading

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

To contact us:

Company or Organization Name

Primary Business Address
Your Address Line 2
Your Address Line 3
Your Address Line 4

Type your street address or the name of your neighborhood.

Phone: 555-555-5555
Fax: 555-555-5555
E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Service List

Contact Us

Service List

List the services your company provides. To add more services, copy and paste additional text boxes.

Project List

Service name 1

Service name 2

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

Briefly describe the benefits of using this service. Change the picture to one of your own, such as a picture of the service.

Briefly describe the benefits of using this service. Change the picture to one of your own, such as a picture of the service.

More details...

More details...

For more information about this service:

For more information about this service:

E-mail: someone@example.com

E-mail: someone@example.com

Service name 3

Service name 4

Briefly describe the benefits of using this service. Change the picture to one of your own, such as a picture of the service.

Briefly describe the benefits of using this service. Change the picture to one of your own, such as a picture of the service.

More details...

More details...

For more information about this service:

For more information about this service:

E-mail: someone@example.com

E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Service Detail

< Return to Service List

Contact Us

Heading

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

Caption describing picture or graphic.

List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.

Caption describing picture or graphic.

To contact us:

Phone: 555-555-5555
Fax: 555-555-5555
E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Service Detail

< Return to Service List

Contact Us

Heading

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

Caption describing picture or graphic.

List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.

Caption describing picture or graphic.

To contact us:

Phone: 555-555-5555
Fax: 555-555-5555
E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Service Detail

< Return to Service List

Contact Us

Heading

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

Caption describing picture or graphic.

List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.

Caption describing picture or graphic.

To contact us:

Phone: 555-555-5555
Fax: 555-555-5555
E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Service Detail

< Return to Service List

Contact Us

Heading

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title

Caption describing picture or graphic.

List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.
List the benefit of using this service.

Caption describing picture or graphic.

To contact us:

Phone: 555-555-5555
Fax: 555-555-5555
E-mail: someone@example.com

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

RELATIVISTIČKA ALGEBRA

Algebarski zapis geometrijskog opisa fizičkog zbivanja

Project List

Contact Us

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Project name 1

Type a description of the project, client, or activity. Change the picture to one of your own, such as a picture of the project.

More details...

Page Title

Page Title

Project name 2

Type a description of the project, client, or activity. Change the picture to one of your own, such as a picture of the project.

More details...

Project name 3

Type a description of the project, client, or activity. Change the picture to one of your own, such as a picture of the project.

More details...

Project name 4

Type a description of the project, client, or activity. Change the picture to one of your own, such as a picture of the project.

More details...

Project name 5

Type a description of the project, client, or activity. Change the picture to one of your own, such as a picture of the project.

More details...

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

Home | About Us | Contact Us | Service List | Project List | Page Title | Page Title | Page Title | Page Title

Contact Us

Service List

Project List

Page Title

Page Title

Page Title

Page Title