-\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{a}^+  _{\vec{n}}\hat{a}_{\vec{n}}\langle \hat{a}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\rangle=-\sum_{\vec{n},\vec{m}}\frac{1}{N^2}\sum_{\vec{k}}J  (\vec{k})e^{i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})}\sum_{\vec{k}_1}\hat{a}^+_{\vec{k}_1}e^{-i\vec{k}_1\cdot\vec{n}}\sum_{\vec{k}_2}\hat{a}_{\vec{k}_2}e^{i\vec{k}_2\cdot\vec{n}}\frac{1}{N}\langle\sum_{\vec{k}_3}\hat{a}^+_{\vec{k}_3}e^{-i\vec{k}_3\cdot\vec{n}}\sum_{\vec{k}_4}\hat{b}^+_{  \vec{k}_4}e^{-i\vec{k}_4\cdot\vec{n}}\rangle=