Neka je $\mathit{Z[i]=\{a+bi|a, b \in Z\}}$ prsten Gausovih celih. Jedinica u prstenu $\mathit{Z[i]}$ je svako $\mathit{\alpha \in Z[i]}$ za koje postoji $\mathit{\beta \in Z[i]}$ tako da vazi $\mathit{\alpha \beta = 1}$, tj. svaki element koji ima multiplikativni inverz.

Neka je $\mathit{N: Z[i] \rightarrow Z}$ dato sa $\mathit{N(a+bi)=a^2+b^2}$.

1. Dokazi:

$\indent{1)}$ Za svako $\mathit{\alpha, \beta \in Z[i]}$ vazi $\mathit{N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)}$.

$\indent{2)} $ Ako $\mathit{\alpha | \gamma}$ u  $\mathit{Z[i]}$ tada $\mathit{N(\alpha) | N(\gamma)}$ u $\mathit{Z}$.

2. Neka je $\mathit{\alpha \in Z[i]}$. Dokazi:

$\indent{1)}$ $\mathit{\alpha}$ je jedinica akko $\mathit{N(\alpha) = 1}$.

$\indent{2)} $ Dokazi da su jedine jedinice $\mathit{\{1, -1, i, -i\}}$.

3. Neka je $\mathit{\alpha \in Z[i]}$.

$\indent{1)} $Ako je $\mathit{N(\alpha)}$ prost u $\mathit{Z}$, tada je $\mathit{\alpha}$ nerastavljiv u $\mathit{Z[i]}$. 

$\indent{2)} $Ako je $\mathit{N(\alpha) = p^2}$, gde je $\mathit{p}$ prost u $\mathit{Z}$, $\mathit{p \equiv 3\pmod {4}}$ tada je $\mathit{\alpha}$ nerastavljiv u $\mathit{Z[i]}$.