\frac{2^{n+1}\sin^2(2^{-n-1})}{2^n\sin^2(2^{-n})}=\frac{2(1-\cos(2^{-n}))/2}{\sin^2(2^{-n})}=\frac{1-\cos(2^{-n})}{1-\cos^2(2^{-n})}=\frac 1{1+\cos(2^{-n})}