a<{p \over q}<b\Rightarrow b^{-1}<{q\over p}<a^{-1}\Rightarrow \lbrace b^{-1}\rbrace<{{q-\lfloor b^{-1}\rfloor p}\over p}<\lbrace a^{-1}\rbrace\Rightarrow \lbrace a^{-1}\rbrace^{-1}<{p\over {q-{\lfloor b^{-1}\rfloor p}}}<\lbrace b^{-1}\rbrace^{-1}