\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq c\quad\Rightarrow\quad
\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq \sqrt{a^2+b^2}\quad\Rightarrow\quad
2ab \leq a^2+b^2\quad\Rightarrow\quad
2ab \leq a^2+b^2\quad\Rightarrow\quad
0 \leq a^2+b^2 -2ab\quad\Rightarrow\quad
0 \leq (a - b)^2