\cos{n\pi\over 4}+i\sin{n\pi\over 4}=(\cos{\pi\over 4}+i\sin{\pi\over 4})^n={(1+i)^n\over \sqrt{2}^n}=\\={1\over \sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^n{n \choose k}i^k=\\={1\over \sqrt{2^n}}\left (\sum_{0\le 2k\le n}{n \choose 2k}(-1)^k+i\sum_{1\le 2k+1\le n}{n \choose 2k+1}(-1)^k\right )