\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n-1)\ln\frac{n+1}n+\ln(n+1)-\ln n}2=\frac 12\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\left(1+\frac 1n\right)^n=\frac 12\ln e=\frac 12