\frac{x}{e^x+1}=\frac{x}{e^x}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{x}{e^x}\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ne^{-n x}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^nx e^{-(n+1) x},x>0