\tilde{D}(x)\cdot 2\sin\frac{x}{2}=\sum_{k=1}^n 2\sin{kx}\sin\frac{x}{2}=\sum_{k=1}^n(\cos(kx-\frac{x}{2})-\cos(kx+\frac{x}{2}}))=\\=\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}+\ldots+\cos\frac{(2n-1)x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}=\\=\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}