\begin{align*} \displaystyle \int\limits_{\Gamma} f(z)\, dz}&=& \overbrace{\int\limits_{\gamma_R} f(z) dz}^{I_R}+ \displaystyle\int\limits_{l_1} f(z) dz+\overbrace{\int\limits_{\gamma_{\varepsilon}} f(z) dz}^{I_{\varepsilon}}+\int\limits_{l_2} f(z) dz\\
&=& I_R+I_{\varepsilon} + \displaystyle \int\limits_{-R}^{-\varepsilon}\frac{t g^2(-t)}{1-t^3}dt+\int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{t g^2(t)}{t^3+1} dt \\
&=& I_R+I_{\varepsilon} + \displaystyle \int\limits_{-R}^{-\varepsilon}\frac{t (\ln(-t)+i 2\pi)^2}{1-t^3}dt+\int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{t \ln^2 t}{t^3+1} dt\\
&=& I_R+I_{\varepsilon} -4 \pi i \int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{ t \ln t}{t^3+1}dt+4\pi^2 \int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{dt}{t^3+1}\end{align*}