\hat{H}=-\frac{1}{2}S^2\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}
-S\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+
\frac{S}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{n}})+
\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}-
\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}