\lim_{x\to\infty}x\cdot (\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}-2x)=\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac{2\sqrt{x^4-x^2}-2x^2}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x}=\\=\lim_{x\to\infty}\frac{-4x^3}{(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x)\cdot(2\sqrt{x^4-x^2}+2x^2)}=\\=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-4x^3}{x^3}}{\frac{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x}{x}\cdot\frac{2\sqrt{x^4-x^2}+2x^2}{x^2}}=\frac{-4\cdot 1}{(\sqrt 1+\sqrt 1+2\cdot 1)\cdot(2\cdot\sqrt 1+2\cdot 1)}=-\frac{1}{4}