|A_{\infty,r}-A_{n,r}|=|\sum_{|k|>n} r^{|k|} e^{ikx} f(r^k)|\leq \sum_{|k|>n} r^{|k|} |f(r^k)| \leq \| f \|_{\infty} \frac{2r^{n+1}}{1-r}