\begin{array}{l}
 F_{n + 1}^2  - F_n^2  = \left( {F_{n + 1}^{}  - F_n^{} } \right)\left( {F_{n + 1}^{}  + F_n^{} } \right) \\ 
  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  \\ 
 F_3  = F_1  + F_2  \\ 
 F_4  = F_2  + F_3  \\ 
 F_5  = F_3  + F_4  \\ 
  \vdots  \\ 
 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 
 F_{n + 2}  = F_n  + F_{n + 1} \,za\,n \ge 1 \Rightarrow F_{n + 2}  = F_n  + F_{n + 1}  \\ 
 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 
 F_{n + 1}  = F_{n - 1}  + F_n \,za\,n \ge 2 \Rightarrow F_{n - 1}  = F_{n + 1}  - F_n  \\ 
  \\ 
 F_{n + 1}^2  - F_n^2  = \left( {F_{n + 1}^{}  - F_n^{} } \right)\left( {F_{n + 1}^{}  + F_n^{} } \right) = F_{n + 2} F_{n - 1} \,za\,n \ge 2 \\ 
 \end{array}