\lim_{n\to+\infty}\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n+1)^n-\ln n!}{2n+2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln\frac{(n+1)^n}{n!}}{2n+2}