\lim_{n\to \infty } \frac{n \ln (n+1)-\ln (n!)}{2(n+1)}= \lim_{n\to \infty } \frac{n \ln (n+1)-\ln \left(\sqrt{2 \pi  n}\hspace{1mm} n^ne^{-n}\right)}{2(n+1)}=\lim_{n\to \infty } \frac{n \ln (n+1)-\ln \left(\sqrt{2 \pi  n}\right)-\ln \left(n^n\right)-\ln \left(e^{-n}\right)}{2(n+1)}=