\lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to \infty } \frac{\ln \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)!}-\ln \frac{(n+1)^n}{n!}}{1}=\lim_{n\to \infty } \ln \left(\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)^n}\right)=