\[
\begin{array}{l}
 \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  = \{ \} \int {\sqrt {a^2  - x^2 } \frac{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  = \int {\frac{{a^2  - x^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  = \{ \} \int {\frac{{a^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  - \int {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  =  \\ 
  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  \\ 
 \int {\frac{{a^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  = \int {\frac{{a^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}\frac{{:a}}{{:a}}dx}  = \{ \} \int {\frac{{\frac{{a^2 }}{a}}}{{\frac{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}{a}}}dx}  = \int {\frac{a}{{\sqrt {\frac{{a^2  - x^2 }}{{a^2 }}} }}dx}  = \{ \} \int {\frac{a}{{\sqrt {1 - \left( {\frac{x}{a}} \right)^2 } }}dx}  = \left| \begin{array}{l}
 \frac{x}{a} = t \\ 
 \frac{1}{a}dx = dt \\ 
 dx = adt \\ 
 \end{array} \right| = \int {\frac{a}{{\sqrt {1 - t^2 } }}adt}  = \{ \} a^2 \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 - t^2 } }}}  = a^2 \arcsin t = a^2 \arcsin \frac{x}{a} \\ 
  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  \\ 
 \int {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  = \int {\frac{{x \cdot xdx}}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}}  = \{ \} \left| {\begin{array}{*{20}c}
   \begin{array}{l}
 u = x \\ 
  \\ 
 du = dx \\ 
 \end{array} & \begin{array}{l}
 dv = \frac{{xdx}}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }} \\ 
 v = \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}}  = \left| \begin{array}{l}
 a^2  - x^2  = t^2  \\ 
  - 2xdx = 2tdt \\ 
 xdx =  - tdt \\ 
 \end{array} \right| = \int {\frac{{ - tdt}}{t}}  =  - \int {dt}  =  - t =  - \sqrt {a^2  - x^2 }  \\ 
 \end{array}  \\
\end{array}} \right| = \{ \} u \cdot v - vdu =  - x\sqrt {a^2  - x^2 }  - \int { - \sqrt {a^2  - x^2 } dx}  = \{ \}  - x\sqrt {a^2  - x^2 }  + \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  \\ 
  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  \\ 
 \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  = \int {\frac{{a^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  - \int {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {a^2  - x^2 } }}dx}  = \{ \} a^2 \arcsin \frac{x}{a} - \left( { - x\sqrt {a^2  - x^2 }  + \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx} } \right) = \{ \} a^2 \arcsin \frac{x}{a} + x\sqrt {a^2  - x^2 }  - \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  \\ 
 2\int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  = a^2 \arcsin \frac{x}{a} + x\sqrt {a^2  - x^2 }  \\ 
 \int {\sqrt {a^2  - x^2 } dx}  = \frac{1}{2}\left( {a^2 \arcsin \frac{x}{a} + x\sqrt {a^2  - x^2 } } \right) = \{ \} \frac{{a^2 }}{2}\arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2}\sqrt {a^2  - x^2 }  \\ 
 \end{array}
\]