=-\frac{1}{N^3}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k}  _1,\vec{k}_2,\vec{k}_3,\vec{k}_4}\hat{a}^+_{\vec{k  }_1}\hat{a}_{\vec{k}_2}\langle \hat{a}^+_{\vec{k}_3}\hat{b}^+_{\vec{k}_4}\rangle N\delta_{\vec{k}+\vec{k}_2,\vec{k}_1+\vec{k}_3}N \delta_{\vec{k}_3,-\vec{k}_4}=