\input amstex 
$$\aligned \frac{\left(1+\dfrac{t}{2}\right)\ln(1+t)}t-1 = \frac{\ln(t+1)}{t} + \frac{1}{2}\ln(t+1) - 1 &= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{n-1}}{n} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^n}{n} - 1\\
 &= 1 +  \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{n-1}}{n} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^n}{n} - 1\\
 &= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \frac{t^n}{n+1} + \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^n}{2n} \\&
= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{(-1)^{n}t^n}{n+1} +  \frac{(-1)^{n-1} t^n}{2n}\right) \\
&= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n (n-1) t^n}{2n(n+1)}
\endaligned$$
\bye