=\lim_{n\to \infty } \frac{n \ln (n+1)-\ln \left(\sqrt{2 \pi  n}\right)-n \ln (n)+n}{2(n+1)}=\lim_{n\to \infty } \frac{n( \ln (n+1)- \ln (n)+1)}{2(n+1)}-\lim_{n\to \infty } \frac{\ln \left(\sqrt{2 \pi  n}\right)}{2(n+1)}=