\sin ^21+\sin ^22+\text{...}+\sin ^289=\frac{1-\text{cos} 2}{2}+\frac{1-\text{cos} 4}{2}+\text{...}+\frac{1-\text{cos}(2*89)}{2}=\frac{89}{2}-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{89} \text{cos}(2 n)